Matematiku Hejného metodou učím od roku 2009. Tento materiál vznikl na základě mých praktických zkušeností při výuce podle učebnic vydaných nakladatelstvím Fraus (autoři M. Hejný a kol. ). Eva Bomerová

Matematické prostředí Děda Lesoň umožňuje dětem pracovat s veličinou zapsanou ikonicky (nikoliv číslem). Uvedeno je příběhem o dědovi Lesoňovi, ochránci zvířátek. Nejprve jsou u Lesoně pouze tři druhy zvířátek, ale postupně k němu přicházejí další. Každé zvířátko má svoji ikonu. Lesoň zvířátka baví a pořádá pro ně různé soutěže. Velice oblíbená je hra na přetahovanou. Kočka je silnější než myš, husa je silnější než kočka atd. Když jsou v jednom družstvu dvě myšky a ve druhém dvě kočky, druhé družstvo vyhraje, protože je silnější. Když se ale přetahují dvě myši s kočkou, nevyhraje nikdo, družstva jsou stejně silná, protože kočka má sílu jako dvě myši. Je to první vztah, který děti poznávají. Další vztahy, se kterými se děti seznamují postupně, jsou následující: husa je stejně silná jako kočka a myš, pes je silný jako husa a myš, koza je silná jako pes a myš, beran je silný jako koza a myš. Zde se pravidlo mění a kráva je silná jako dvě kozy, kůň je silný jako dvě krávy.

V tomto prostředí jsou postupně zaváděny různé typy úloh.

Při čtení následujícího textu je zřejmé, že snažit se představit si úlohu pouze v mysli je velice obtížné i pro dospělé a zvláště pro ty, kteří se s dědou Lesoněm setkávají poprvé. Pomocí manipulace s ikonami, která se pro děti stává hrou, je vše o poznání snazší. Myšlenkové pochody, které proběhnou, než se dítě rozhodne doplnit, odebrat nebo nahradit určitou ikonu, budují strukturu pro práci s rovnicemi a soustavami rovnic a jsou prevencí formalismu. Matematicky řečeno - dítě naprosto běžně používá základní ekvivalentní úpravy rovnic:

Výměna obou stran rovnice: „Je jedno, jestli je první družstvo zelené a druhé žluté nebo naopak.“

Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice: „Do každého družstva můžu přidat stejné zvířátko, pořád budou stejně silná.“

Odečtení stejného čísla od obou stran rovnice: „V každém družstvu je jedna myš, tak je můžu klidně dát pryč.“

Vynásobení obou stran rovnice stejným číslem různým od 0: „Pes je stejně silný jako dvě kočky. A dva psi jako čtyři kočky. A tři psi jako šest koček. A tak pořád dál.“
Úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice: „Můžu vyměnit psa za dvě kočky a nic se nestane.“

Rovnice patří k pilířům matematiky. Při jejich výuce se obvykle zdůrazňuje nácvik postupů. Pro rozvoj matematického myšlení dítěte je důležitější chápání vztahů, které jsou rovnicemi popisovány. Proto je toto prostředí zaměřeno na situace, v nichž mohou děti odhalovat různé zákonitosti rovnic i jevů, které rovnice popisují.

1. Které družstvo vyhraje?

Družstvo se skládá z jednoho nebo více zvířátek, přičemž družstev může být více. Úkolem dítěte je zjistit, které družstvo je nejsilnější.

2. Které zvířátko má jít slabšímu družstvu na pomoc?

Úkolem dítěte je nejprve zjistit, které družstvo je slabší (družstva mohou být i stejně silná) a poté k němu přidat jedno zvířátko tak, aby družstva byla stejně silná. Později lze přidávat i více zvířátek, pro která může být stanovena další podmínka.

3. Které zvířátko musí ze silnějšího družstva odejít, aby družstva byla stejně silná?

Situace je obdobná jako v předešlém typu, nyní ale zvířátko (později i zvířátka) nepřichází, ale odchází. Později mohou odcházet zvířátka z obou družstev.

4. Rozděl do dvou stejně silných družstev. Najdi všechna řešení.

Je dán soubor zvířátek a úkolem dítěte je rozdělit je do dvou stejně silných družstev. Později přibude výzva k nalezení více nebo dokonce všech řešení. Postupně je soubor zvířátek dělen do tří i více družstev a k dělení může být přidána další podmínka.

5. Hra na kapitány.

Hra vychází z životní zkušenosti dětí. Když se skupina dětí rozděluje do dvou družstev, velice často se dělba odehrává mezi dvěma nejsilnějšími jedinci - kapitány. Ti si z dětí střídavě vybírají hráče do svého družstva, a to tak, že první volbu má slabší kapitán. Přesně tento způsob volby používá i děda Lesoň. Úlohou  kapitána je vytvořit silnější družstvo a děti mají určit, kterému z kapitánů se to povedlo.

6. Koho děda Lesoň postaví do růžového družstva proti modrému družstvu, aby byla obě družstva stejně silná?

Je dáno jedno družstvo a úlohou dítěte je postavit (ve jménu Lesoně) druhé, stejně silné družstvo. Má nalézt různé nebo všechny možnosti. Později je úloha doplněna o další podmínky.

7. Které zvířátko je ukryto za maskou?

Jsou dána dvě stejně silná družstva, ale některá zvířátka jsou maskována. Nejprve je to jediná maska, později přibude další. V každé úloze jsou za stejnými maskami stejná zvířátka. Jedná se o rovnice nebo soustavy rovnic v prostředí zvířátek. Rozdíl od běžných rovnic je v tom, že zde pod maskou nemůže být neexistující zvíře.

Přechod od manipulace k číslům a neznámým

1. Některé děti si sílu každého zvířete začnou přepočítávat na myši. Rovnici si zapíší jako MMMMM = MMM□ neboť kočka jsou dvě myši a husa jsou tři myši. Pak snadno najdou řešení: MM = □ = K. Za maskou je kočka.

2. Některé začnou používat rovnou čísla: myš = 1, kočka = 2, husa = 3, pes = 4, koza = 5, beran = 6 atd. Rovnici zapíší jako 1 + 2 + 2 = 3 + □, 5 =  3 + □,  □ = 2. Za maskou je kočka.

3. Postupně začnou místo masky používat x (v případě dvou masek x a y) a seznámí se s pojmem neznámá. Rovnici zapíší jako  1 + 2 + 2 = 3 + x, 5 = 3 + x, x = 2.

První postup je zdlouhavý, ale pro některé děti zpočátku nejsrozumitelnější. Přepis rovnic do čísel je rychlý, ale snaha urychlit přechod od manipulace k číselným zápisům vede k tomu, že děti si osvojí techniku přepisu i řešení, ale nebudou rozumět podstatě. Když nacvičené postupy zapomenou, nezůstane v jejich vědomí nic. Ty, které řeší úlohy vlastním, byť zdlouhavým, uvažováním, zvyšují kvalitu svého myšlení. To jim zůstane, i když všechny konkrétnosti zapomenou.

Kompletní text včetně ilustračních úloh, jejich řešení a komentářů naleznete zde.

Úlohy z učebnic Fraus pro 2. až 5. ročník včetně řešení a didaktických komentářů z příručky učitele naleznete zde.